Suite à quelques soucis avec mon FAI, je n'ai pu mettre en ligne régulièrement.

Tout semble bien fonctionné maintenant.

Leçon 2, géométrie 1 : Angles

I - Généralités

1 - Définition

Un angle est une partie du plan délimité par deux demi-droite de même origine. Notation avec des noms de points et des noms de direction.

2 - Unités

Petit historique des unités (tour, grade, degré et radian). Noms des angles suivant leur valeur en degré (°).

3 - Outil

Rappel sur l’utilisation du rapporteur.

4 - Bissectrice

DEFINITION : La bissectrice d’un angle est la droite séparant un angle en deux angles égaux.

Construction d’une bissectrice au compas. Ne pas oublier les symboles (décalés) d’angles égaux.

Remarque : c’est l’axe de symétrie de l’angle.

II - Vocabulaire

1 - Somme d’angles

Rappel sur le nom des résultats des 4 opérations.

DEFINITION : Des angles sont complémentaires lorsque leur somme fait 90°.

DEFINITION : Des angles sont supplémentaires lorsque leur somme fait 180°.

2 - Adjacents

Synonymes : voisins, collés. Des exemples d’angles adjacents sur des figures.

3 - Angles formés par deux droites

Deux  paires d’angles un aigu, l’autre obtus. Ce sont des angles opposés par le sommet.

III - Applications

Des exercices sur le vocabulaire et le calcul d’angles.

Leçon 3, algèbre 2 : Proportionnalité

I - Situation de proportionnalité

Réflexion sur quelques situations.

II - Tableau de proportionnalité

Avantage d’un tableau pour la présentation des résultats.

Sur un exemple, on fait apparaître : les opérateurs, les sommes ou différences de colonnes.   

Autre exemple

III – Graphique de proportionnalité

1 – Vocabulaire

Repère, orthogonal, orthonormé, origine, graduations, abscisse, ordonnée, coordonnées.

Placer des points et lire des coordonnées.

2 - Construction

Construction des deux graphiques issus des tableaux du II.

REGLE : Un graphique est de proportionnalité lorsque tous les points sont alignés avec l’origine.

3 - Lecture graphique

A partir d’un graphique, comment passer des abscisses aux ordonnées et réciproquement.

III - Reconnaître un tableau de proportionnalité

Plusieurs cas, il faut trouver des opérateurs (entre les colonnes et/ou de proportionnalité).

S’il ne l’est pas, il suffit de citer le (ou un) opérateur faux.

S’il l’est, il faut tout écrire.

Leçon 4, géométrie 2 : Triangles

I – Généralités

1 - Définition

Petit aperçu de la famille des polygones (du grec plusieurs côtés).

DEFINITION : Un triangle est un polygone à trois côtés.

3 - Exercices

Plusieurs exercices mettant en jeu ces 3 théorèmes et propriété.

Leçon 3, algèbre 2 : Nombres en écriture fractionnaire

I - Simplification

Un résultat doit toujours se donner sous sa forme la plus simplifiée.

Critère de divisibilité par 2, par 3, par 5, par 9, par 10, 100, 1000…

Par 7, il faut connaître ses tables et le critère par 11 est donné à titre indicatif.

Des exemples de simplification.

Remarque sur les nombres premiers.

II - Addition et soustraction

REGLE : Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut qu’elles soient au même dénominateur.

REGLE : Pour tout nombre a, b, c, d avec b et d non nuls, on a : a/b +ou- c/d = (ad +ou- bc)/bd

Des exemples de calculs avec 2 fractions puis avec plusieurs fractions.

Reconnaître le meilleur dénominateur :

Exemple : avec 12 et 18, ils sont dans la table de 6 : 12=6×2 et 18=6×3, il faut faire une sorte de « produit en croix » avec 12×3 et 18×2.

III - Multiplication

REGLE : Pour tout nombre a, b, c, d avec b et d non nuls, on a : a/b × c/d = ac/bd

Des exemples avec des fractions relatives.

Il faut être attentif aux simplifications.

Exemples avec des carrés et des cubes.

IV - Division

Rappel de la règle de la leçon1 du III..

Vocabulaire : opposé et inverse.

Exemple avec multiplier par 2 et diviser par 0,5.

REGLE : Diviser c’est multiplier par l’inverse. Pour tout nombre a, b, c,d avec b, c et d non nuls, on a : a/b ÷ c/d = a/b × d/c.

Des exemples.

V – Calculs divers

Des exemples faisant intervenir les priorités opératoires.

Leçon 4, géométrie 2 : Cercles et triangles rectangles

I - Cercle circonscrit

1 - Propriété

A l’aide d’un rectangle et des propriétés de ses diagonales, on arrive à la propriété suivante :

PROPRIETE du cercle circonscrit à un triangle rectangle : Si un cercle est circonscrit à un triangle rectangle alors son diamètre est l’hypoténuse.

Cette propriété permet d’avoir le centre du cercle circonscrit donc le diamètre (une longueur) donc le rayon et donc périmètre et aire.

Application : Soit ABC un triangle rectangle en C tel que AC=7cm et BC=4cm. Quelle est, au cm² près, l’aire du disque formé par le cercle circonscrit du triangle ABC ?

2 - Réciproque

Démonstration de cette réciproque en utilisant les angles et les triangles isocèles.

PROPRIETE réciproque du cercle circonscrit à un triangle rectangle :

Soit : Si un point C appartient au cercle de diamètre [AB] alors le triangle ABC est rectangle en C.

Soit : Si un triangle est inscrit dans le cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés alors ce triangle est rectangle.

Soit : Si on joint un point d’un cercle aux extrémités d’un diamètre alors le triangle obtenu est rectangle.

Cette propriété réciproque permet de démontrer qu’on a un angle droit comme la propriété de la tangente, les propriétés des diagonales d’un carré et d’un losange, la propriété des perpendiculaires, le théorème réciproque de Pythagore, la propriété réciproque de la médiatrice.

Application : Soit un cercle de centre O de rayon 5cm. A est un point du cercle et B est le point diamétralement opposé à A. C est un point du cercle tel que AC=7cm. 1 - Construire une figure. 2 - Démontrer que ABC est un triangle rectangle. 3 - Calculer BC.

II – Médiane

1 - Propriété

Encore grâce au rectangle on constate la propriété suivante :

PROPRIETE de la médiane : Si on a un triangle rectangle alors la médiane relative à l’hypoténuse mesure la moitié de l’hypoténuse.

Cette propriété permet de calculer une longueur (encore une).

Application : Soit ABE et ABF deux triangles rectangles de même hypoténuse [AB]. Démontrer que le triangle EFO est isocèle.

2 - Réciproque

PROPRIETE réciproque de la médiane : Si dans un triangle, la médiane relative à un côté mesure la moitié de ce côté alors le triangle est rectangle.

Cette propriété permet de démontrer qu’on a un angle droit (encore une !).

Application : Soit AEI un triangle isocèle en I. B est le symétrique de A par rapport à I. Démontrer que le triangle AEB est rectangle.

III - Applications

Des exercices et problèmes traitants de ces propriétés.

3 - Applications

Partage d’un segment et autres calculs.

II -        Réciproque du théorème de Thalès

1 -  Enoncé

Théorème réciproque de Thalès : Soit d et d’ deux droites sécantes en A, B et M sont deux points de d distincts de A, C et N sont deux points de d’ distincts de A. Si A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre et si AM/AB = AN/AC alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Cette réciproque permet de démontrer qu’on a des droites parallèles (une de plus par rapport à la 4^ème)

2 -   Exemples

Cas où les droites sont parallèles et cas où elles ne le sont pas.

III -      Applications

Divers problèmes et exercices.

Leçon 3, algèbre 2 : Calcul littéral

I -           Règles de développement et de factorisation

1 -             Rappels

Somme et produit, factorisation et développement, règle de calcul littéral de base.

2 -             Développements

Rappel des exercices de 5^ème et de 4^ème avec relatifs et fractions.

Règle 5 : Pour tout nombre relatif a, b et m, on a : m(a+ b) = ma+ mb.

Règle 6 : Pour tout nombre relatif a, b, c et d, on a : (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd.

3 -             Factorisations

Rappel des exercices de 5^ème avec la règle suivante :

Règle 7 : Pour tout nombre relatif  a, b et m, on a : ma+mb =m(a+b) .

Rappel des factorisations de 4^ème du style (2x-3)²+(2x-3)(3x+1) et (4x-1)(3x+2)-(4x-1)(x+6).

II -        Identités remarquables

1 -             Carré d’une somme

Règle 8 : Pour tout nombre a et b, on a : (a+b)² = a²+2ab+b².

Des exemples dans les 2 sens.

2 -             Carré d’une différence

Règle 9 : Pour tout nombre a et b, on a : (a-b)² = a²-2ab+b².

Des exemples dans les 2 sens.

3 -             Différence de carrés

Règle 10 : Pour tout nombre a et b, on a : a²-b² = (a-b)(a+b).

Des exemples dans les 2 sens.

III -      Applications

            Divers problèmes et exercices.

Leçon 4, géométrie 2 : Trigonométrie

I -           Sinus, cosinus et tangente

1 -             Définitions

Vocabulaire du triangle rectangle. Définitions des 3 fonctions.

Définition 5 : Dans un triangle rectangle dont un angle aigu est α, on a : sin α = côté opposé à α / hypoténuse ; cos α = côté adjacent à α / hypoténuse ; tan α = côté opposé à α / côté adjacent à α.

Applications sur des triangles rectangles. Valeurs particulières. Remarque sur un moyen mnémotechnique : SOHCAHTOA. Relation entre ces 3 fonctions.

Règle 11 : Pour tout angle aigu α, on a : tan α = sin α / cos α .

2 -             Calcul d’angle

Des exemples.

3 -             Calcul de longueur

Des exemples.

II -        La relation fondamentale de la trigonométrie

Constat par un exemple. Démonstration.

Règle 12 : Pour tout angle aigu α, on a : (sin α)²+(cos α)²=1.

Exemples d’utilisation de cette formule.

III -      Application

Divers problèmes et exercices.

Leçon 5, algèbre 3 : Racine carrée

I -           Définition

Des exemples. Rappel de l’utilisation de la calculatrice. Vocabulaire.

Définition 6 : Si a est un nombre positif, Va est le nombre positif dont le carré est a.

Règle 13 : (Va )² = a et V(a²) = a.

II -        Propriétés

Règle 14 : Pour a et b positifs, on a : Va x Vb= V(axb) .

Des exemples.

III – Avec la division

REGLE : Dans une succession de multiplications et de divisions on calcule de gauche à droite.

REGLE : La multiplication et la division sont prioritaires par rapport à l’addition et à la soustraction.

Des exemples.

IV - Carré et cube

Pourquoi carré et cube ? Présentation de la notation et de la façon de calculer.

REGLE : Carré et cube sont prioritaires par rapport à la multiplication et à la division.

Des exemples.

V – Parenthèses

REGLE : Les priorités opératoires sont les suivantes : 1. calculs entre parenthèses 2. carré et cube 3. multiplication et division 4. addition et soustraction.

Des exemples.

VI - Exercices

Des problèmes.

Leçon 6, géométrie 3 : Triangle et parallèles

I - Théorème de la droite des milieux

1 - Conjecture

Construction d’un triangle et des milieux des côtés. Remarque de la part des élèves du parallélisme.

2 - Démonstration de la conjecture

En utilisant les parallélogrammes et ses propriétés.

3 - Enoncé

THEOREME de la droite des milieux : Si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.

Explication de ce théorème et de son utilité. Ce théorème permet de démontrer qu’on a des droites parallèles comme la propriété de la double perpendiculaire, comme la propriété des parallèles, comme la propriété du parallélogramme, comme les propriétés réciproques des angles alternes-internes et des angles correspondants.

4 - Application directe

Soit ABC un triangle quelconque, I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC]. Démontrer que (IJ) et (BC) sont parallèles.

Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC]. D’après le théorème de la droite des milieux, on a (IJ) parallèle à (BC).

5 - Exercice

Soit MATH un parallélogramme tel que MH=7cm, AM=4cm et angl HMA= 50°. E et F sont les milieux respectifs de [AM] et [TH]. Démontrer que (EF) et (MH) sont parallèles.

II - Propriété s des milieux

1 - Suite de la démonstration du I-2-

Avec les propriétés des longueurs d’un parallélogramme.

2 - Enoncé

PROPRIETE des milieux : Si dans un triangle un segment joint les milieux de deux côtés alors ce segment mesure la moitié du troisième côté.

Cette propriété permet de calculer une longueur comme la propriété de la médiatrice, comme la propriété des diagonales des parallélogrammes, comme la propriété réciproque des angles d’un triangle isocèle.

3 - Application directe

Soit ABC un triangle tel que AB=8cm, BC=6cm et AC=5cm. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC]. Calculer IJ.

Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB], J est le milieu de [BC], BC=6cm. D’après la propriété des milieux, on a IJ=BC/2=6/2=3cm.

III - Réciproque

1 - Enoncé

THEOREME réciproque de la droite des milieux : Si dans un triangle la parallèle à un côté passe par le milieu d’un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Cette propriété permet d’obtenir un milieu donc une longueur (une de plus).

2 - Application directe

Soit ABC un triangle quelconque. I est le milieu de [AB]. La parallèle à (BC) passant par I coupe [AC] en J. Démontrer que J est le milieu de [AC].

Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et (IJ) est parallèle à (BC). D’après le théorème réciproque de la droite des milieux, on a J milieu de [AC].

5 - Exercices

Utilisation de la méthode que l’élève préfère. Remarque sur les nombres premiers entre eux.

Fractions irréductibles

Définition : Lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, on dit que cette fraction est irréductible.

Des exemples.

Règle : En simplifiant a/b par PGCD(a ;b), on obtient une fraction irréductible.

Des exemples.

IV - Applications

Divers problèmes et exercices.

Leçon 2, géométrie 1 : Théorème de Thalès

I -           Théorème de Thalès

1 -             Enoncé

Démonstration d’Euclide avec les aires.

Théorème de Thalès : : Soit d et d’ deux droites sécantes en A, B et M sont deux points de d distincts de A, C et N sont deux points de d’ distincts de A. Si (BC) et (MN) sont parallèles alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.

3 configurations possibles.

Remarque : ce n’est que la généralisation du théorème de 4^ème dans le triangle. Ecriture de l’égalité de Thalès sur plusieurs exemples.

2 -             Calculs

Exemples de calculs suivants différentes configurations.

Géométrie 1 : Triangle et parallèles

I - Théorème de la droite des milieux

1 - Conjecture

Construction d’un triangle et des milieux des côtés. Remarque de la part des élèves du parallélisme.

2 - Démonstration de la conjecture

En utilisant les parallélogrammes et ses propriétés.

3 - Enoncé

THEOREME de la droite des milieux : Si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.

Leçon 1, algèbre 1 : Arithmétique

I - Diviseur d’un entier

Rappel des critères de divisibilité. Exemples.

Définition : Soit a un entier naturel et k un entier naturel non nul, lorsque a/k est un entier naturel, on dit que k est un diviseur de a.

Remarque : a multiple de k ou a est divisible par k. Rappel sur les nombres premiers. Liste des diviseurs d’un nombre (sans oublier ce nombre et 1)

II - Diviseurs communs à deux entiers

Exemples.

Définition : Soit a et b deux entiers naturels divisibles par l’entier naturel non nul k, on dit alors que k est un diviseur commun de a et de b.

Il peut y avoir plusieurs diviseurs communs : exemples. Remarque : 1 est diviseur commun à tous les entiers.

Cas particulier : les entiers premiers entre eux

Exemple avec 24 et 35.

Définition : Soit a et b deux entiers naturels ayant 1 pour seul diviseur commun, on dit alors  que a et b sont premiers entre eux.

Exemples.

Propriété des diviseurs communs

Règle : Si k est un diviseur commun de a et b alors k est aussi diviseur commun de a-b et de a+b.

Exemples.

III - PGCD

1 - Définition

Définir le PGCD sur un exemple. Notation.

2 - Propriétés

Règle : Si a est un diviseur de b alors PGCD(a ;b)=a.

Des exemples.

Règle : Pour a>b, PGCD(a ;b)=PGCD(a-b ;b).

Des exemples.

3 - Méthode des soustractions successives

Des exemples.

4 - Méthode de l’algorithme d’Euclide

Des exemples.

Leçon 1, algèbre 1 : Opérations sur les nombres décimaux relatifs

I - Addition et soustraction

3 méthodes principales exposées avec des exemples : *Calcul de gauche à droite *Calcul de 2 en 2 *Calcul par regroupement (positifs et négatifs)

Les avantages et inconvénients de ces 3 méthodes sont données, l’élève a le choix.

Rappel sur les nombres opposés.

II – Avec la multiplication

REGLE : Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif et le produit de deux nombres relatifs de signes différents est négatif.

Des exemples.

REGLE : Un produit comportant un nombre pair de nombres négatifs est positif et un produit comportant un nombre impair de négatifs est négatif.

Des exemples.

III – Avec la division

Remarque sur les mots opposé, inverse et contraire.

A partir de l’exemple de multiplication par 0,5 et de division par 2 on arrive à la REGLE suivante :

REGLE : Diviser, c’est multiplier par l’inverse.

Des exemples.

IV - Priorités opératoires

Rappel sur l’ordre des opérations.

Des exemples.